Skip to content. | Skip to navigation

Personal tools
Log in Register
Sections
You are here: Home Math Department Inngangur að stærðfræðigreiningu Föll Jafnstæð og oddstæð föll

Details - Jafnstæð og oddstæð föll

Skilgreining: Fall $ f$ er
  • jafnstætt (even) ef $ f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D_f$
  • oddstætt (odd) ef $ f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D_f$

Ef speglað er um $ y$-ás varpast punktur með hnit $ (x,y)$ í punkt með hnit $ (-x,y)$. Við $ 180^{\circ}$ snúning um 0-punkt varpast $ (x,y)$ í $ (-x,-y)$.
Skoðum nú graf jafnstæðs falls $ \left( f(-x) = f(x) \right)$:

Punktur á grafinu hefur hnit $ (x,y)$, þar sem $ y = f(x)$. Við speglun um $ y$-ás varpast þessi punktur í punktinn

$\displaystyle (-x,y) = \left(-x, f(x)\right) = \left( -x , f(-x) \right)
$

sem er punktur á grafinu. Athugið að hér verður að sjálfsögðu að gilda að:

$\displaystyle x\in D_f \quad \Rightarrow \quad -x \in D_f
$

Grafið fellur því í sjálft sig við speglun, þ.e. grafið er samhverft um $ y$-ás.

Skoðum næst graf oddstæðs falls $ \left( f(-x) = -f(x) \right)$:
Punktur á grafinu hefur hnit $ (x,y)$, þar sem $ y = f(x)$. Við $ 180^{\circ}$ snúning um 0-punkt varpast þessi punktur í punkt með hnit

$\displaystyle (-x,-y) = \left(-x, -f(x)\right) = \left(-x, f(-x) \right)
$

sem er punktur á grafinu. Því fellur graf oddstæðs falls í sjálft sig við slíkan snúning, þ.e. grafið er samhverft um núllpunktinn við snúning um $ 180^{\circ}$.

Grades may be recorded and used anonymously for research purposes.