Skip to content. | Skip to navigation

Personal tools
Log in Register
Sections

Línulega óháðir vigrar

Teacher View     
Examples   Alternative   Details   Handout  





11.1 Skilgreining. Látum $ M$ tákna mengi. Fjölskylda í $ M$ með vísamengi $ I$ er safn staka $ \{x_i\}_{i\in I}$ úr $ M$ . Athugið að mögulegt er að $ x_i=x_j$ þó að $ i\neq j$ .

Í þessu námskeiði vinnum við aðallega með endanlegar fjölskyldur og þá notum við $ \{1, 2, \ldots, k\}$ sem vísamengi og ritum fjölskylduna sem $ \{x_1, x_2, \ldots, x_k\}$ .

11.2 Setning. Látum $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ vera fjölskyldu vigra úr $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Setjum svo $ V=$$ \mbox{${\rm Span}$}$$ ($$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k)$ . Sérhvern vigur $ \mbox{${\bf v}$}$$ \in V$ má rita á nákvæmlega einn hátt sem línulega samantekt $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ og aðeins ef eina leiðina til að rita núllvigurinn $ \mbox{${\bf0}$}$ sem línulega samantekt af $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ er $ \mbox{${\bf0}$}$$ =0$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1+0$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _2+\cdots+0$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ .

11.3 Skilgreining. Látum $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ vera fjölskyldu vigra úr $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Ef eina leiðin til að rita núllvigurinn $ {\bf0}$ sem línulega samantekt

$\displaystyle c_1$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _1+ c_2$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _2+\cdots+c_k$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _k=$$\displaystyle \mbox{${\bf0}$}$

er að $ c_1=c_2=\cdots=c_k=0$ þá er sagt að fjölskyldan $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$línulega óháð. Ef til eru tölur $ c_1, c_2, \ldots, c_k$ ekki allar jafnar 0 þannig að

$\displaystyle c_1$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _1+ c_2$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _2+\cdots+c_k$$\displaystyle \mbox{${\bf v}$}$$\displaystyle _k=$$\displaystyle \mbox{${\bf0}$}$ (1)

þá er sagt að vigrarnir séu línulega háðir og að jafnan (1) sýni línulegt samband þeirra.

11.4 Aðferðafræði. Þegar á að sanna að gefin fjölskylda vigra $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ sé línulega óháð þá ætti sönnunin (næstum) alltaf að byrja á ,,Gerum ráð fyrir að $ c_1$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1+
c_2$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _2+\cdots+c_k$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _k=$$ \mbox{${\bf0}$}$ . Viljum sýna að $ c_1=c_2=\cdots=c_k=0$ .“

11.5 Málnotkun. Það rétta er að segja að fjölskyldan $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ sé línulega óháð (eða línulega háð), en þar sem lítil hætta er á misskilningi er oft sagt (og ritað) ,,vigrarnir $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ eru línulega háðir (eða óháðir)“.

11.6 Setning. Gerum ráð fyrir að $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ sé línulega óháð fjölskylda vigra í $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Þá er fjölskyldan $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _k,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ \}$ línulega óháð ef og aðeins ef $ \mbox{${\bf v}$}$ er ekki stak í $ \mbox{${\rm Span}$}$$ ($$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _k)$ .

11.7 Reikniaðferð Gefin er fjölskylda $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ af vigrum í $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Segja á til um hvort fjölskyldan er línulega óháð eða línulega háð.

Skref 1. Búið til $ n\times k$ fylki $ A$ þannig að vigrarnir $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ séu dálkvigrar $ A$ .

Skref 2. Notið línuaðgerðir til að breyta $ A$ yfir í fylki á efra stallaformi.

Skref 3. Ef það er pinni í sérhverjum dálki þá eru vigrarnir $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ línulega óháðir, en ef það vantar pinna í einhvern dálkinn þá eru vigrarnir línulega háðir.

Skref 4 (viðbót). Ef teknir eru þeir af upphaflegu vigrunum sem voru í pinnadálkunum þá mynda þeir línulega óháða fjölskyldu vigra.

11.8 Setning Látum $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ vera fjölskyldu vigra í $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Ef $ k>n$ þá er fjölskyldan línulega háð.

11.9 Setning. Látum $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ vera fjölskyldu vigra úr $ \mbox{${\bf R}^n$}$ . Gerum ráð fyrir að enginn vigranna $ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k$ sé núllvigurinn og að ef $ i\neq j$ þá sé $ \mbox{${\bf v}$}$$ _i\cdot$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _j=0$ . Þá er fjölskyldan línulega óháð.

11.10 Setning Látum $ A$ vera $ m\times n$ fylki með $ \mbox{${\rm rank}$}$$ (A)=n$ . Ef $ \{$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,$   $ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ er línulega óháð fjölskylda vigra í $ \mbox{${\bf R}^n$}$ þá er fjölskyldan $ \{A$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _1, A$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _2, \ldots,
A$$ \mbox{${\bf v}$}$$ _k\}$ í $ \mbox{${\bf R}^m$}$ líka línulega óháð.

1. október 2005
Rögnvaldur G. Möller


Grades may be recorded and used anonymously for research purposes.