Skip to content. | Skip to navigation

Personal tools
Log in Register
Sections
You are here: Home Stats Department Introduction to probability - IN TRANSLATION Samdreifingar Meira um væntigildi hendinga

Details - Meira um væntigildi hendinga

Setning: Ef $ X$ og $ Y$ eru hendingar og væntigildi þeirra er til, þá er $ E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ .

Sönnun: Við sönnum þetta einungis fyrir strjálar hendingar. Ef við byrjum á að skrifa upp skilgreininguna á væntigildinu og taka síðan örlítið saman summurnar, þá fæst:

$\displaystyle E[X+Y]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_x \sum_y \left ( x + y \right ) p(x,y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_x \sum_y x p(x,y) \quad + \quad \sum_x \sum_y y p(x,y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_x \left \{ \sum_y x p(x,y) \right \} \quad + \quad \sum_y \left \{ \sum_x y p(x,y) \right \}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_x x \left \{ \sum_y p(x,y) \right \} \quad + \quad \sum_y y \left \{ \sum_x p(x,y) \right \}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_x x p_X(x) \quad + \quad \sum_y y p_Y(y)$  

Hér var endað á að nota, að jaðardreifingar $ X$ og $ Y$ fást með því að leggja saman $ p(x,y)$ yfir gildið á hinni breytunni. En væntigildi $ X$ er einfaldlega $ \sum_x x p_X(x)$ og tilsvarandi fyrir $ Y$ þannig að niðurstaðan er fengin.



Grades may be recorded and used anonymously for research purposes.